Масъалаи № 43. б) Исбот карда шавад, ки пайдарпаии \(x_n = 2^\sqrt{n}\) \((n \geq 2)\) ҳудуди беохир дорад ҳангоми \(n \rightarrow \infty\) (яъне беохир калон аст), тавассути ба ҳаргуна адади \(E > 0\) муайян кардани адади \(N = N(E)\), ки \(|x_n| > E\) ҳангоми \(n > N\) будан.

Ҷадвали зерин пур карда шавад:

Ҳал.

\(|x_n| = |2^\sqrt{n}| = 2^\sqrt{n}\).

Бигзор адади натуралии \(N\) чунин бошад, ки барои адади додашудаи \(E > 0\) нобаробарии зерин иҷро шавад:

\(2^\sqrt{N} \geq E\).

\(\log_2 2^\sqrt{N} \geq \log_2 E\).

\(\sqrt{N} \geq \log_2 E\).

\(N \geq \left(\log_2 E\right)^2\).

Пас, агар \(N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right]\) бошад, онгоҳ барои дилхоҳ адади натуралии \(n > N\) нобаробарии зерин иҷро мешавад:

\(|x_n| = 2^\sqrt{n} > E\).

Ин чунин маъно дорад, ки пайдарпаии \(x_n = 2^\sqrt{n}\) \((n \geq 2)\) ҳудуди беохир дорад ҳангоми \(n \rightarrow \infty\) (яъне беохир калон аст).

1) Агар \(E = 10\) бошад, онгоҳ

\(N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right] = \left[ \left(\log_2 10\right)^2 \right] = 11\).

Барои адади дилхоҳи \(n > 11\)

\(|x_n| > 10\)

мешавад.

2) Агар \(E = 100\) бошад, онгоҳ

\(N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right] = \left[ \left(\log_2 100\right)^2 \right] = 44\).

Барои адади дилхоҳи \(n > 44\)

\(|x_n| > 100\)

мешавад.

3) Агар \(E = 1000\) бошад, онгоҳ

\(N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right] = \left[ \left(\log_2 1000\right)^2 \right] = 99\).

Барои адади дилхоҳи \(n > 99\)

\(|x_n| > 1000\)

мешавад.

4) Агар \(E = 10000\) бошад, онгоҳ

\(N = \left[ \left(\log_2 E\right)^2 \right] = \left[ \left(\log_2 10000\right)^2 \right] = 176\).

Барои адади дилхоҳи \(n > 176\)

\(|x_n| > 10000\)

мешавад.

Ҷадвалро пур мекунем: